< Curent continuu
4. Notaţia ştiinţifică
4.1 Notaţia ştiinţifică
4.1.1 Scop
În multe discipline ştiinţifice şi inginereşti, trebuie să lucrăm adesea cu valori foarte mari sau foarte mici. Unele dintre aceste cantităţi sunt foarte greu de reprezentat, fiind extrem de mari sau extrem de mici. Să luăm ca şi exemplu masa protonului, una dintre particulele nucleului atomului:
masa protonului = 0,00000000000000000000000167 grame
Sau, numărul de electronic ce trec printr-un punct al unui circuit în fiecare secundă, sub influenţa unui curent de 1 Amper:
1 Amper = 6.250.000.000.000.000.000 electroni pe secundă
În ambele cazuri, avem de a face cu mulţi de zero. Evident, este destul de incomod să lucrăm cu atât de multe cifre, chiar şi cu ajutorul calculatoarelor.
4.1.2 Cifre semnificative
În cazul celor două numere de mai sus, putem observa că există relativ puţine cifre diferite de zero în componenţa acestora. În cazul masei protonului, avem doar „167” precedat de 23 de zero înainte de virgula (decimală). Pentru numărul de electroni pe secundă într-un Amper, avem „625” urmat de 16 zerouri. Numim aceste cifre diferite de zero (de la prima la ultima), plus oricare zerouri ce se află între aceste limite, „cifrele semnificative” ale oricărui număr.
Cifrele semnificative rezultate în urma unei măsurători reale indică de obicei acurateţea acelei măsurători. De exemplu, dacă spunem că o maşină cântăreşte 1.000 kg, probabil că nu dorim să fim foarte exacţi referitor la greutatea acesteia, ci am făcut o rotunjire aproximativă şi comodă. Această valoare conţine doar o cifră semnificativă, şi anume, „1”-ul din faţa, zerourile fiind folosite în acest caz doar pentru a indica un multiplu al primei cifre, şi nu „posedă” nicio valoare. Touşi, dacă am spune că maşina cântăreşte 1.005 kg, atunci valoarea ar avea 4 cifre semnificative, şi anume „1.005”, iar în acest caz, zerourile sunt parte componentă a mărimii măsurate.
În aceeiaşi ordine de idei, numerele cu mai mulţi de zero nu sunt neapărat reprezentative pentru o anumita cantitate reală până la punctul decimal. În acest caz, un asemenea număr poate fi scris printr-o prescurtarea matematică pentru a fi mai uşor de citit. Prescurtarea poartă denumirea de notaţia ştiinţifică.
- Numere mari folosind notaţia ştiinţifică
Folosind notaţia ştiinţifică, un număr poate fi scris prin intermediul cifrelor semnificative ca şi o valoare între 1 şi 10 (sau -1 şi -10 pentru numerele negative), iar zerourile sunt reprezentate ca şi puteri ale lui 10. De exemplu:
1 Amper = 6.250.000.000.000.000.000 electroni pe secundă poate fi scris sub forma 1 Amper = 6,25 x 1018 electroni pe secundă
10 la puterea 18 (1018) înseamnă 10 înmulţit cu el însuşi de 18 ori, sau, un 1 urmat de 18 zerouri. Înmulţit cu 6,25, rezultă „625” urmat de 16 zerouri (luăm 6,25 şi mutăm virgula cu 18 locuri spre dreapta). Avantajele notaţiei ştiinţifice sunt evidente: numărul nu mai este atât de „imposibil” de scris iar cifrele semnificative sunt foare uşor de identificat.
- Numere mici folosind notaţia ştiinţifică
Ce putem face însă în cazul numerelor foarte mici, precum masa protonului în grame? Putem folosi şi în acest caz notaţia ştiinţifică, doar că puterile lui 10 vor fi negative în acest caz, şi nu pozitive, ceea ce se traduce printr-o deplasare a virgulei decimale înspre stânga şi nu înspre dreapta, precum în cazul precedent.
masa protonului = 0,00000000000000000000000167 grame poate fi scrisă sub forma masa protonului = 1,67 x 10-24 grame
10 ridicat la puterea -24 (10-24) înseamnă inversa (1 / x) lui 10 înmulţit cu el însuşi de 24 de ori, sau, un 1 precedat de o virgulă decimală şi de 23 de zerouri. Înmulţit cu 1,67, rezultatul este „167” precedat de virgula decimală şi 23 de zerouri. La fel ca şi în cazul numerelor foarte mari, este mult mai uşor pentru o persoană să utilizeze notaţia prescurtată. Şi în acest caz, cifrele semnificative sunt exprimate clar.
Revenind la exemplul precedent, putem exprima valoarea de 1.000 kg cu ajutorul notaţiei ştiinţifice, astfel:
greutatea = 3 x 103 kg
În cazul în care maşina ar cântări 1.005 kg, notaţia ştiinţifica ar fi următoarea:
greutatea = 3,005 x 103 kg
4.2 Aritmetica notaţiei ştiinţifice
4.2.1 Înmulţirea numerelor sub forma notaţiei ştiinţifice
Beneficiile notaţiei ştiinţifice nu se opresc doar la uşurinţa scrierii numerelor. O asemenea notaţie este uşor de folosit în cazul înmulţirii şi împărţirii numerelor. Să presupunem, de exemplu, că vrem să aflăm numărul de electroni ce trec printr-un anumit punct al unui circuit ce transportă un curent de 1 A într-o perioadă de 25 de secunde. Dacă ştim numărul de electroni pe secundă din circuit (ceea ce cunoaştem), tot ceea ce trebuie să facem este să înmulţim acea cantitate cu numărul de secunde (25) pentru aflarea răspunsului:
(6.250.000.000.000.000.000 electroni pe secundă) x (25 secunde) = 156.250.000.000.000.000.000 electroni în 25 de secunde
Utilizând notaţia ştiinţifică putem reformula problem astfel:
(6,25 x 1018 electroni pe secundă) x (25 secunde)
Dacă luăm „6,25” şi îl înmulţim cu 25, obţinem 156,25. Prin urmare, răspunsul poate fi scris astfel:
156,25 x 1018 electroni
Totuşi, dacă dorim să menţinem convenţia standard a notaţiei ştiinţifice, trebuie să reprezentăm cifrele semnificative ca şi numere între 1 şi 10. În cazul de faţă, „1,5625” înmulţit cu o anumită putere a lui 10. Pentru a obţine 1,5625 din 156,25, trebuie să trecem virgula decimală cu două locuri în stânga. Acest lucru se realizează astfel:
156,25 = 1,5625 x 102
Adică, mutăm virgula decimală cu două poziţii în stânga, dar în acelaşi timp înmulţim numărul nou format cu 10 la puterea 2 (numărul de poziţii). Rezultatul final arată acum astfel (înmulţim numărul de mai sus cu 1018):
1,5625 x 1020 deoarece, 10a x 10b = 10a + b
Dacă am dori în schimb să aflăm numărul de electroni ce trec într-un interval de o oră (3.600 secunde)? În acest caz, putem trece şi timpul sub forma notaţiei ştiinţifice:
6,25 x 1018 x 3,6 x 103
Pentru realizarea acestui produs (înmulţire), înmulţim cele două cifre semnificative între ele (6,25 şi 3,6), precum şi cele două puteri ale lui zece între ele, astfel:
6,25 x 3,6 = 22,5 1018 x 103 = 1021
Ceea ce înseamnă:
22,5 x 1021 electroni sau 2,25 x 1022 electroni
4.2.2 Împărţirea numerelor sub forma notaţiei ştiinţifice
Pentru ilustrarea operaţiei de împărţire cu numere sub forma notaţiei ştiinţifice, putem să luăm exemplul de mai sus invers, şi anume, să aflăm cât timp le-ar trebui acelui număr de electroni (2,25 x 1022) să treacă prin circuit, în cazul unui curent de 1 A:
(2,25 x 1022 electroni) / (6,25 x 1018 electroni pe secundă)
La fel ca şi în cazul înmulţirii, putem realiza calculele separat pentru cifrele semnificative şi pentru puterile lui zece:
(2,25 / 6,25) x (1022 / 1018) 0,36 x 104 sau 3,6 x 103 secunde deoarece, 10a / 10b = 10a - b
Putem vedea că am ajuns la aceeiaşi valoarea, 3600 secunde (3,6 x 103).
4.3 Notaţia metrică
Sistemul metric, pe lângă faptul că reprezintă o colecţie de unităţi de măsură pentru diferite mărimi fizice, este structurat în jurul conceptului de notaţie metrică. Diferenţa faţa de notaţia ştiinţifică o reprezintă faptul că puterile lui zece sunt reprezentate cu ajutorul prefixelor alfabetice. În imaginea alăturată sunt prezentate câteva dintre cele mai uzuale prefixe alături de reprezentarea sub forma puterilor lui zece
Urmărind această scală, putem vedea că, de exemplu, 2,5 Giga înseamnă de fapt 2,5 x 109, sau 2,5 miliarde. De asemenea, 3,21 pA (picoamperi) înseamnă 3,21 x 10-12 Amperi.
Deoarece majoritatea prefixelor în sistemul metric se referă la puteri ale lui 10 ce sunt multiplii de 3, notaţia metrică diferă de notaţia ştiinţifică prin faptul că cifrele semnificative se pot regăsi oriunde în intervalul 1 - 1000, în funcţie de prefixul ales. De exemplu, pentru o greutate de 0,000267 grame, cele două notaţii arată astfel:
2,67 x 10-4 g (notaţia ştiinţifică) 267 µg (notaţia metrică) sau 0,267 mg (notaţia metrică)
4.3.1 Conversia prefixelor metrice
Pentru a exprima o cantiate printr-un prefix metric diferit faţă de cel iniţial, trebuie doar să mutăm virgula decimală spre stânga sau spre dreapta, în funcţie de caz.
De exemplu, să exprimăm 0,000023 A (amperi) în mA (microamperi). Putem observa că 0,000023 A nu utilizează niciun prefix metric, ci reprezintă doar unitatea de măsură „pură”. Din graficul de mai sus, vedem că micro (µ) reprezintă 10-6, prin urmare, trebuie să deplasăm virgula decimală cu 6 poziţii spre drepta, iar rezultatul arată astfel:
0,000023 A = 23 µA
Un alt exemplu: dorim să exprimăm 304.212 V (volţi) în kV (kilovolţi). Din nou, putem observa că acest număr nu are momentan niciun prefix. Astfel, dacă dorim să trecem de la 100 (vezi graficul de mai sus) la 103 (kilo) în stânga, trebuie să mutăm virgula decimală cu 3 poziţii spre stânga:
304.212 V = 304,212 kV
Să presupunem acum că dorim să transformăm 50,3 MΩ (megaohmi) în mΩ (miliohmi). 50,3 MΩ înseamnă 50,3 x 106. Uitându-ne pe graficul de mai sus, observăm că de la mega la mili există o diferenţa de 9 puteri ale lui zece (de la 106 la 10-3, de la stânga la dreapta), prin urmare, trebuie să deplasăm virgula decimală cu 9 poziţii spre drepta:
50,3 MΩ = 50.300.000.000 mΩ