< Electronică Digitală
2 Aritmetica binara
2.1 Valori şi sisteme de numeraţie
Este foarte important să înţelegem că sistemul de numeraţie ales pentru reprezentarea valorilor (numerelor) nu are absolut niciun impact asupra rezultatului aplicării operaţiilor aritmetice de adunare, scădere, înmulţire, împărţire, rădăcini, puteri sau algoritmi. O valoare este tot timpul aceiaşi, indiferent de modul în care alegem să o simbolizăm. Fie că reprezentăm temperatura de 35o sub această formă (zecimală) sau sub forma 100011 (binară), aceasta nu schimbă valoarea reală a temperaturii ce o resimţim. Ea rămâne aceiaşi, ceea ce se modifică este modul de reprezentare a acesteia.Operaţiile esenţiale şi legăturile matematice nu sunt afectate de modificarea sistemului de numeraţie pentru reprezentarea valorilor. Această distincţie între valori şi sisteme de numeraţie este foarte importantă şi trebuie înţeleasă.
Această distincţie esenţială dintre cei doi termeni este asemănătoare distincţie dintre cuvinte şi obiectele asociate acestor cuvinte. O casă este tot o casă, indiferent dacă de limba pe care o folosim pentru desemnarea acesteia (română, engleză, germană, etc.). Obiectul este ceva real, palpabil, pe când cuvântul este doar un simbol pentru reprezentarea acelui obiect.
Acestea fiind spuse, o simplă operaţie de aritmetică sub formă binară, precum adunarea, pare ciudată pentru o persoană obişnuită să lucreze doar cu sistemul de numeraţie zecimal. În acest capitol vom analiza tehnicile folosite pentru efectuarea operaţiilor artimetice simple cu numere binare. Aceste tehnici vor fi folosite pentru proiectarea circuitelor electronice care să realizeze exact acelaşi lucru. Chiar dacă suntem obişnuiţi cu operaţiile de adunare şi scădere folosind un calculator de mână, calculatorul însăşi foloseşte numerele binare pentru obţinerea rezultatului final.
2.2 Adunarea binară
Adunarea numerelor binare este relativ simplă, foarte asemănătoare cu adunarea numerelor zecimale. Adunarea se realizează adunând pe coloane fiecare bit, pe rând, de la dreapta la stânga, la fel ca în cazul adunării zecimale. Spre deosebire de aceasta însă, există puţine reguli de memorat:
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 1 + 1 + 1 = 11
Când rezultatul adunării pe coloane este format din doi biţi (de ex, 1 + 1 = 10), bitul din dreapta (0, în acest caz) se scrie iar cel din stânga se trece mai departe (1, în acest caz):
11 1 11 <--- biţi ce trec mai departe
1001101 1001001 1000111
+ 0010010 + 0011001 + 0010110
--------- --------- ---------
1011111 1100010 1011101
Adunarea din stânga nu a dat niciunde doi biţi, pe fiecare coloană suna fiind fie 1, fie 0. În celelalte două adunări, există sume care dau fie 10 fie 11, iar în acest caz bitul din stânga (0 sau 1) se trece mai departe la următoarea adunare.
După cum vom vedea mai târziu, se pot construi circuite electronice care să realizeze exact această operaţie aritmetică de adunare, prin reprezentarea fiecărui bit a fiecărui număr prin intermediul unui semnal de tensiune. Acest principiu reprezintă baza efectuării tuturor operaţiilor aritmetice realizate de calculatoarele moderne.
2.3 Numere binare negative
2.3.1 Bit-ul de semn
Operaţia de scădere se poate realiza asemănător cu cea de adunare prin considerarea unuia dintre numere ca fiind negativ. De exemplu, operaţia de scădere „7 - 5” este aceiaşi cu cea de adunare „7 + (-5)”, adică, adunarea unui număr pozitiv cu un număr negativ. Din moment ce ştim deja cum se realizează reprezentarea numerelor pozitive sub formă binară, tot ceea ce trebuie să facem este să reprezentăm şi numerele negative sub formă binară. De aici va rezulta direct operaţia de scădere.
Un număr zecimal negativ se reprezintă de obicei prin introducerea semnului minus(-) la stânga, la fel ca în exemplul de sus (-5). Totuşi, scopul notaţie binare este realizarea circuitelor tip oprit/pornit pentru reprezentarea valorilor sub forma căderilor de tensiune (două valori alternative: „înaltă” şi „joasă”). În această situaţie, nu ne putem permite să introducem un al treilea simbol, precum semnul minus, din moment ce aceste circuite au doar două stări posibile, pornit sau oprit. O soluţie o reprezintă utilizarea unui bit (circuit) doar pentru reprezentarea acestui semn matematic şi pentru nimic mai mult:
1012 = 510 (pozitiv)
Utilizând un bit adiţional (0 = pozitiv, 1 = negativ),
01012 = 510 (pozitiv) 11012 = -510 (negativ)
Dar, în această situaţie în care folosim biţi pentru alt scop decât pentru reprezentarea valorilor, trebuie să fim foarte atenţi, altfel, riscăm ca numărul 11012 să fie interpretat ca fiind 1310 în loc de -510. Pentru a nu face astfel de greşeli, trebuie să ne decidem în primul rând de câţi biţi avem nevoie pentru a reprezenta cel mai mare număr posibil cu care vom lucra în aplicaţia noastră. Ne putem apoi asigura că nu vom depăşi această lungime (în biţi) atunci când aplicăm operaţiile aritmetice. În exemplul de mai sus, limita inferioară este -7 (11112) iar cea superioară 7 (01112), deoarece al patrulea bit este folosit pe post de semn. Doar prin stabilirea acestor numere putem fi sigur că nu vom amesteca un număr negativ cu un număr pozitiv, mai mare.
Pe cât de simplă pare această abordare, ea nu este foarte practică din punct de vedere al aritmeticii. De exemplu, cum efectuăm adunarea unui număr negativ (11012) cu un oricare alt număr, folosind tehnica standar al adunării binare? Ar trebui să inventăm o nouă metodă de realizare a adunării pentru ca această tehnică să fie practică. Dar, dacă realizăm acest lucru, nu vom mai avea avantajul utilizării numerelor negative pentru realizarea scăderii prin adunare obişnuită.
2.3.2 Reprezentarea în complement faţă de doi
Din fericire, există o altă metodă pentru reprezentarea numerelor negative ce este compatibilă cu operaţia de adunare obişnuită, şi anume, complementarea. Cu această strategie, bit-ul din stânga primeşte un statut special, asemenea bit-ului de semn din exemplul precedent. Totuşi, de această dată, bit-ul din stânga nu este doar un bit de semn, ci posedă şi o valoare. De exemplu, -5 este reprezentat astfel:
10112 = -510 (1 x -810) + (0 x 410) + (1 x 210) + (1 x 110) = -510
Utilizând cei trei biţi din dreapta pentru reprezentarea valorilor de la zero la şapte, bit-ul din stânga reprezentând fie zero fie -8, putem reprezenta orice număr întreg de la -7 (10012 = -810 + 110 = -710) la plus 7 (01112 = 010 + 710 = 710).
Reprezentarea numerelor pozitive utilizând această notaţie nu este diferită faţă de notaţia normală (bit-ul din stânga va fi tot timpul zero). Totuşi, reprezentarea numerelor negative nu este chiar aşa de intuitivă.
0 = 0000
1 = 0001 -1 = 1111
2 = 0010 -2 = 1110
3 = 0011 -3 = 1101
4 = 0100 -4 = 1100
5 = 0101 -5 = 1011
6 = 0110 -6 = 1010
7 = 0111 -7 = 1001
-8 = 1000
Observăm că numerele binare negative din coloana dreaptă, fiind suma celor trei biţi din dreapta plus bitul negativ din dreapta, egal cu minus opt, nu se „numără” în aceiaşi ordine precum numerele binare pozitive din coloana stângă. În schimb, cei trei biţi trebuie aduşi la forma necesară, astfel încât, după adunarea cu minus opt să se obţină rezultatul negativ dorit.
Spunem că cei trei biţi din dreapta sunt o reprezentare în complement faţă de doi al numărului pozitiv corespunzător. Să facem o comparaţie:
număr pozitiv complementul faţă de doi --------------- ------------------------ 001 111 010 110 011 101 100 100 101 011 110 010 111 001
În acest caz (bit-ul al patrulea are valoarea de minus opt), reprezentarea în complement faţă de doi a oricărui număr pozitiv este valoarea necesară însumări cu minus opt pentru a rezulta aceiaşi valoare, dar cu semn schimbat. Din fericire, există o cale uşoară de calcul al complementului, pentru oricare număr binar: inversăm toţi biţii acelui număr, schimbând 1 cu 0 şi invers. Ajungem astfel la reprezentarea în complement faţă de unu a numărului. Pentru soluţia dorită de noi, mai trebuie să adăugăm un unu.
De exemplu, pentru obţinerea complementului lui cinci (1012), inversăm toţi biţii şi obţinem 0102(complement faţă de unu), apoi adăugăm un unu şi obţinem 0112, sau -510 în complement faţă de doi.
Este interesant de menţionat faptul că, obţinerea complementului faţă de doi a unui număr binar funcţionează la fel de bine şi dacă aplicăm inversarea tuturor biţilor, inclusiv bit-ului din stânga. Să luăm exemplul precedent, inversarea lui 5 în -5, dar aplicând operaţia de inversare tuturor biţilor. Trebuie să includem însă şi bit-ul din stânga numărului iniţial (01012). După inversarea tuturor biţilor, obţinem complementul faţa de unu (10102). Apoi, adăugăm un unu pentru obţinerea răspunsului final: 10112, sau -510 în complement faţă de doi, exprimat cu patru biţi.
2.4 Scăderea binară
Putem realiza operaţia de scădere binară utilizând aceleaşi metode standard împrumutate de la scăderea zecimală. Totuşi, dacă putem utiliza metoda deja cunoscută (şi mai uşoară) a adunării binare pentru efectuarea scăderii, ne va fi mai uşor. După cum am văzut, putem reprezenta numerele binare negative utilizâd reprezentarea în complement a lui doi plus un bit adiţional cu o valoare negativă. Să considerăm un exemplu:
710 - 510 (scădere) 710 + (-510) (adunare echivalentă)
Tot ce trebuie să facem este să reprezentăm numărul 7 şi -5 sub formă binară:
01112 = 7 10112 = -5
Nu ne mai rămâne decât să efectuăm adunarea binară:
1111 <--- biţi ce trec mai departe 0111 + 1011 ------ 10010 <--- ignorăm bit-ul suplimentar răspuns = 00102 = 210
Din moment ce am definit numărul nostru ca fiind compus din trei biţi plus bitul cu valoare negativă, putem ignora al cincilea bit din răspuns (1), iar rezultatul final este astfel 00102, sau plus doi, ceea ce reprezintă răspunsul corect.
O altă modalitate de a înţelege de ce înlăturăm al cincilea bit, este să ţinem minte că bit-ul din stânga are o valoare negativă, egală cu minus opt în cazul de faţă. Atunci când adunăm aceste două numere binare, realizăm de fapt o scădere a biţilor. În cazul operaţiei de scădere, cifrele nu sunt „duse” mai departe spre următoarea operaţie, ci sunt împrumutate.
Să considerăm un alt exemplu, cu numere mai mari de data aceasta. Dacă vrem să adunăm -2510 cu 1810, trebuie să stabilim în primul rând numărul de biţi pe care numărul nostru îl va conţine în reprezentarea binară. Pentru a putea reprezenta cea mai mare valoarea absolută posibilă în acest caz, 25, avem nevoie de cel puţin cinci biţi, plus un al şaselea bit pentru valoarea negativă. Să începem prin a reprezenta numărul 25 sub formă binară, şi apoi sub forma complementului făţă de doi:
+2510 = 0110012 (toţi cei şase biţi) 110012 = 1001102 (complementul faţa de unu) complementul faţa de unu + 1 = complementul faţa de doi = 1001112 -2510 = 1001112 (forma finală)
Mai exact, -25 sub formă binară este de fapt suma dintre bit-ul negativ de pe poziţia a şasea cu valoarea de -32 şi ceilalţi cinci biţi (001112 = 710).
Să reprezentăm acum şi numărul 17 sub formă binară, folosind toţi cei şase biţi:
1810 = 0100102
Adunarea lor ne conduce la următorul rezultat:
11
100111
+ 010010
--------
111001
În acest caz nu avem un „surplus” de biţi după adunanre, prin urmare, nu trebuie să „scăpăm” de niciunul din ei. Bitul din stânga este 1, ceea ce înseamnă că răspunsul, în complement faţă de doi, este negativ (ceea ce este corect). Pentru verificare, putem realiza conversia înapoi în forma zecimală prin însumarea produsului tuturor biţilor cu valorile lor respective, astfel:
(1 x -3210) + (1 x 1610) + (1 x 810) + (1 x 110) = -710
Răspunsul obţinut este corect,
1810 - 2510 = -710
2.5 Depăşirea binară
Una din problemele numerelor binare cu semn, este bit-ului de depăşire. Acesta apare ca în cazul în care rezultatul adunării sau scăderii efectuate între două numere binare este mai mare decât valoarea maximă ce poate fi reprezentată cu numărul de biţi alocaţi. Ţineţi minte că poziţia bit-ului de semn este fixată la începutul problemei. În exemplul precedent, am utilizat cinci biţi pentru reprezentarea unui număr, iar bit-ul din stânga a fost utilizat pe post de bit de semn, cu pondere negativă. Cu cinci biţi rămaşi pentru reprezentarea valorilor, cel mai mare număr ce-l putem scrie astfel este +3110(0111112), iar cel mai mic -3210(1000002). Dacă aplicăm o operaţie de adunare unor astfel de numere, iar rezultatul este mai mare decât 3110 sau mai mic decât -3210, răspunsul obţinut nu va fi corect. Să luăm un exemplu:
1710 = 100012 1910 = 100112
Adăugând bit-ul de semn, adunarea celor două numere arată astfel:
1 11 <--- biţi ce se trec mai departe 010001 + 010011 -------- 100100
Răspunsul (1001002) este egal cu -2810, nu cu +3610, aşa cum ar trebui să obţinem adunând +1710 cu +1910. Evident, acest răspuns nu este corect. Dar unde am greşit? Din moment ce valoarea reală a sumei (3610) depăşeşte limita permisă de cei cinci biţi (plus bit-ul de semn), ajungem la o eroare de depăşire binară.
O eroare similară obţinem şi în cazul adunării a două numere negative a cărei sumă este mai mică decât -3210:
-1710 = 1011112 -1910 = 1011012
Aplicând operaţia de adunare celor două numere, obţinem:
1 1111 <--- biţi ce se trec mai departe 101111 + 101101 -------- 1011100
După înlăturarea bit-ului în plus, rezultatul final este:
0111002 = +2810
Acest răspuns este, desigur, incorect.
Să reconsiderăm cele două exemple de mai sus, dar de această dată utilizând şase biţi pentru reprezentarea numărului. Al şaptelea bit va fi bit-ul de semn:
1710 + 1910 (-1710) + (-1910)
1 11 11 1111
0010001 1101111
+ 0010011 + 1101101
--------- ---------
01001002 110111002 <--- înlăturarea bit-ului suplimentar
Răspunsuri: 01001002 = +3610
10111002 = -3610
Utilizând un număr suficient de biţi pentru reprezentarea rezultatelor, răspunsurile sunt corecte.
În aceste exemple am putut determina erorile de depăşire prin realizarea „de mână” a operaţiilor de adunare sub formă zecimală. Această metodă de verificare nu este însă foarte eficientă. Până la urmă, întregul scop al complementării este realizarea adunării sub formă binară. Acest lucru este valabil mai ales în cazul proiectării circuitelor electronice: circuitul trebuie să poată sesiza singur existenţa unei erori de depăşire, fără ajutor uman.
Cea mai elegantă metodă de rezolvare a acestei situaţii constă în verificarea „semnului” sumei şi compararea acestuia cu semnele numerelor însumate. Desigur, rezultatul sumei a două numere pozitive este un număr pozitiv, iar suma a două numere negative, este un număr negativ. Putem observa că, de fiecare dată când avem o situaţie de depăşire, semnul sumei este invers faţă de semnul celor două numere adunate: +1710 plus +1910 ne-a dat -2810, sau, -1710 plus -1910 ne-a dat +2810. Prin simpla verificare a semnelor, putem să ne dăm seama că exista o eroare iar rezultatul este fals.
Ce se întâmplă în cazul în care unul din numere este pozitiv iar celălalt negativ? Care ar trebui să fie semnul sumei? Răspunsul este simplu: atunci când numerele însumate sunt de semne diferite, nu va exista niciodată o eroare de depăşire. Motivul este la fel de simplu: depăşirea are loc atunci când valoarea unui număr este mai mare decât cea permisă de numărul de biţi utilizaţi. În cazul numerelor de semn contrar, valoarea rezultatului trebuie să fie între cele două numere, prin urmare, nu poate fi mai mare sau mai mică decât limita maximă permisă de numărul de biţi.
Din fericire, această metodă de identificare a erorii de depăşire este uşor de implementat într-un circuit electronic.
2.6 Grupări de biţi
La reprezentarea numerelor binare cu ajutorul circuitelor electronice, suntem nevoiţi să utilizăm un număr suficient de circuite cu tranzistori pentru reprezentarea tuturor biţilor. Cu alte cuvinte, la proiectarea unui circuit digital, trebuie să ne decidem câţi biţi vom utilizat (maxim) pentru reprezentarea valorilor, din moment ce fiecare bit necesită un circuit pornit/oprit separat.
Acest principiu este analog proiectării unui abac pentru reprezentarea digitală a numerelor zecimale: trebuie mai întâi să ne decidem câte cifre dorim să reprezentăm cu acest dispozitiv primitiv. Fiecare cifră necesită o nouă linie cu mărgele.
Un abac cu 10 linii poate reprezenta un număr zecimal cu 10 cifre, sau o valoare maximă de 9.999.999.999. Dacă am dori reprezentarea unui număr mai mare decât atât, va trebui să ma adăugăm una sau mai multe linii.
Orice circuit digital se proiectează pe un anumită număr de biţi: numărul maxim de biţi alocaţi pentru reprezentarea valorilor numerice. Calculatoarele digitale iniţiale erau proiectate pe patru sau pe opt biţi. Sistemele moderne sunt proiectate pe 32 sau pe 64 de biţi.
Pentru a vorbi mai uşor de numărul de biţi dintr-o grupare, cele mai uzuale au primit şi un nume, astfel:
Bit: unitatea fundamentală a notaţiei binare; echivalentă cu o cifră zecimală Crumb, Tydbit sau Tayste: 2 biţi Nibble sau Nybble: 4 biţi Nickle: 5 biţi Byte: 8 biţi Deckle: 10 biţi Playte: 16 biţi Dynner: 32 biţi Word: (în funcţie de sistem)
Cel mai ambiguu termen este word-ul. Pentru un sistem pe 32 de biţi, un word înseamnă 32 de biţi. Dacă sistemul utilizează 16 biţi, atunci word-ul este de 16 biţi. Termenul playte şi dynner se referă tot timpul la 16, respectiv 32 de biţi, indiferent de contextul în care sunt folosiţi.
Tot în funcţie de sistem sunt folosiţi şi termenii de „double word” sau „longword” (ambii termenii desemnând o lungime dublă faţă de lungimea standard), „half-word” (jumătatea lungimii) sau quar (de patru ori lungimea standard).