< Electronică Digitală

1 Sisteme de numeratie

1.1 Numere şi simboluri

Exprimarea cantităţilor sub formă numerică ni se pare un lucru natural. Această situaţie este atât în avantajul cât şi în dezavantajul nostru atunci când studiem electronica. Pe de o parte, suntem obişnuiţi să facem calcule atunci când analizăm circuitele electrice sau electronice, iar acesta este un lucru bun. Pe de altă parte, sistemul de notaţie utilizat zi de zi, încă din şcoala primară, nu este sistemul intern folosit şi de echipamentele electronice moderne. Adoptarea unui nou sistem de notaţie şi o re-examinare a ideilor şi conceptelor deja învăţate nu este tocmai un lucru peste care să putem trece cu uşurinţă.

În primul rând, trebuie să facem o diferenţiere între numere şi simbolurile utilizate pentru reprezentarea acestor numere. Un număr este o cantitate matematică, corelată de obicei în cazul electronicii cu o cantitate fizică precum tensiune, curent sau rezistenţă. Există o multitudine de tipuri de numere. De exemplu: numere naturale (1, 2, 3, …), numere întregi (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …), numere iraţionale (π - aproximativ 3,1415927, e - aproximativ 2,718281828), rădăcina pătrată a oricărui număr prim, etc.), numere reale (toate valorile numerice uni-dimensionale, negative şi pozitive, incluzând zero, numerele naturale, întregi şi iraţionale) şi complexe (3 - j4, 34, 5 ∠ 20^o).

În funcţie de aplicaţia practică în cauză, se utilizează diferite tipuri de numere. Numerele naturale sunt perfecte şi suficiente pentru „inventarierea” obiectelor discrete, precum numărul de rezistori dintr-un circuit. Numerele întregi sunt necesare atunci când avem nevoie şi de echivalentul negativ al celor naturale. Numerele iraţionale reprezintă acele numere ce nu pot fi exprimate exact ca şi raport dintre două numere întregi; raportul dintre circumferinţa unui cerc şi diametrul acestuia (π) este un astfel de număr iraţional. Valorile pentru tensiune, curent şi rezistenţa ce le-am întâlnit în analiza circuitelor electrice de curent continuu pot fi exprimate sub forma numerelor reale, atât sub formă de fracţii cât şi sub formă decimală. Pentru analiza circuitelor de curent alternativ însă, numerele reale nu pot exprima esenţa duală a amplitudinii si a unghiului de fază, astfel încât am fost nevoiţi să utilizăm numerele complexe, fie sub forma rectangulară, fie sub formă polară.

1.1.1 Forma analogică şi forma digitală

În cazul în care utilizăm numere pentru înţelegerea proceselor fizice din lumea reală, realizarea predicţiilor ştiinţifice sau pentru calcule economice, avem nevoie de o simbolistică pentru reprezentarea acestora. Aceste notaţii pot fi sub două forme: analogică şi digitală. În cazul reprezentării analogice, cantitatea simbolizată este diviziblă la infinit. În cazul reprezentării digitale, cantitatea simbolizată prezintă o diviziune discretă.

De exemplu, un termometru „clasic” precum în figura alăturată reprezintă un aparat de măsură analogic. Practic putem măsură orice temperatură din intervalul 0-50^o, rezoluţia termometrului fiind practic infinită. De exemplu, putem spune că temperatura măsurată în acest caz este de 35^o, dar, dacă avem ochi buni, putem fi mai precişi şi spune că ea este de fapt 35,7^o. Sau, dacă avem ochi foarte buni, sau un mijloc mult mai precis de citire a scalei, s-ar putea să vedem că temperatura reală este de fapt de 35,72545^o.

Acest lucru nu este valabil şi în cazul unui termometru digital. De exemplu, termometrul din figura alăturată nu poată măsura temperatura cu o precizie mai mare de 0,1^oC. Astfel că putem citi o temperatură fie de 33,0^oC, fie o temperatură de 33,1^oC, dar în niciun caz nu putem citi o valoare între aceste două puncte (de exemplu, 33,0125^oC), aşa cum am fi putut face cu un termometru analogic.

1.2 Sisteme de numeraţie

1.2.1 Sistemul de numeraţie roman

Romanii au pus la punct un sistem de numeraţie pe bază de simboluri (cifre) pentru reprezentarea cantităţilor, astfel:

X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000 

Dacă o cifră este urmată de o altă cifră a cărei valoare este egală sau mai mică decât prima, niciuna dintre cifre nefiind mai mare decât cele din stânga sa, valoarea acestei cifre se adaugă la valoarea totală. Astfel, VIII reprezintă valoarea 8, iar CLVII reprezintă 157. Pe de altă parte, dacă o cifră este precedată la stânga sa de o altă cifră a cărei valoare este mai mică decât prima, valoare celei de a doua se scade din prima. Prin urmare, IV = 4 (V minus I), iar CM = 900 (M minus C). De exemplu, anul 1987 poate fi reprezentat în notaţia romană astfel: MCMLXXXVII. O analiză a acestei notaţii este bine-venită:

M (1000) + CM (900) + L (50) + XXX (30) + V (5) + II (2) = 1987

Numerele mari sunt dificil de reprezentat prin intermediul acestei notaţii. Adunarea şi scăderea cifrelor ne poate şi ea da bătăi de cap. O altă problemă majoră a acestui sistem este imposibilitatea reprezentării numerelor negative sau a valorii nule (zero), ambele fiind concepte foarte importante în matematică.

1.2.2 Sistemul de numeraţie zecimal

Una dintre cele mai importante idei ale sistemului zecimal de numeraţie se datorează babilonienilor. Aceştia au fost aparent prima civilizaţie ce s-a folosit de poziţia cifrei pentru reprezentarea numerelor mari. În loc să inventeze cifre noi pentru reprezentarea cantităţilor mari, precum romanii, aceştia au refolosit aceleaşi cifre, dar plasate în poziţii diferite de la dreapta spre stânga. Sistemul zecimal actual utilizează acest concept, folosind doar 10 cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 şi 9) pentru reprezentarea valorilor în funcţie de poziţia acestora. Fiecare cifră reprezintă o valoare întreagă, iar fiecare poziţie de la dreapta spre stângă reprezintă o constantă de multiplicare pentru fiecare dintre aceste valori întregi. De exemplu, notaţia zecimală „1206”, poate fi desfăcută în următorul produs:

1206 = 1000 + 200 + 6 1206 = (1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1)

Fiecare simbol poartă numele de cifră, iar fiecare poziţie este de zece ori mai mare decât poziţie imediat următoare (din dreapta). Astfel că în cazul de mai sus avem poziţia sau cifra unităţilor (6), cifra zecilor (0), cifra sutelor (2) şi cifra miilor (1), de la dreapta spre stânga.

1.2.3 Sistemul de numeraţie binar

Ce s-ar întâmpla dacă am realiza un sistem de numeraţie cu aceleaşi principii de bază precum sistemul zecimal, dar cu mai puţine sau mai multe cifre?

Sistemul binar este un astfel de sistem „modificat” ce utilizează doar două cifre, constanta de multiplicare a fiecărei cifre fiind în acest caz de două ori mai mare decât a cifrei precedente (de la dreapta la stânga). Cele două cifre sunt „0” şi „1”. Poziţia din dreapta este poziţia unităţilor, la fel ca în cazul notaţiei zecimale. Spre stânga, constantele de multiplicare sunt după cum urmează: 2, 4, 8, 16, etc. De exemplu, următorul număr binar poate fi exprimat, la fel ca şi numărul zecimal 1206, ca şi sumă dintre produsul fiecărei cifre cu, constanta de multiplicare (în funcţie de poziţie):

11010 = 2 + 8 + 16 = 26 11010 = (1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1)

1.2.4 Specificarea bazei

Mai sus, am scris un număru sub formă binară (11010) şi l-am transformat în formă zecimală (16 + 8 + 2 = 26). Prin urmare, am amestecat două notaţii diferite în acelaşi loc. Pentru a nu crea confuzii, va trebui să explicităm tipul notaţiei folosite. Acest lucru se realizează prin specificarea bazei numărului respectiv prin folosirea indicilor, 2 pentru notaţia binară, şi 10 pentru cea zecimală, astfel: 11010₂ (baza doi) şi 26₁₀ (baza zece).

Aceşti indicii nu sunt operatori matematici, precum exponenţii (puteri). Tot ceea ce fac este să indice tipul de sistem de numeraţie utilizat pentru reprezentarea numărului respectiv. De obicei, atunci când nu este specificată nicio bază, se prespune că se lucrează în baza zece (₁₀).

De remarcat că, în cazul notaţiei binare, fiecare poziţie poartă numele de bit

1.2.5 Scopul sistemului binar de numeraţie

De ce am vrea să folosim acest sistem de numeraţie binar? Sistemul decimal, cu cele zece cifre ale sale, este intuitiv şi uşor de înţeles. Sistemul binar este folosit în principal de electronica digitală (folosită pentru calculatoare, de exemplu), datorită uşurinţei de reprezentare electronică a celor două stări (0 şi 1). Cu un circuit relativ simplu, putem efectua operaţii matematice asupra numerelor binare reprezentând fiecare bit printr-un circuit care este fie pornit (curent) fie oprit (curent zero). La fel ca în cazul unui abac, putem adăuga mai multe circuite pentru a reprezenta numere din ce în ce mai mare. Acest sistem este ideal pentru stocarea şi redarea informaţiei sub format numeric: benzi magnetice, CD-uri, hard-disk-uri, etc. p>